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[【全国百强校】浙江省杭州学军中学高三数学复习:排列与组合]

发布时间:2020-01-22 09:06:53 影响了:

一堂排列与组合复习课 排列与组合应用题是高中数学的难点,许多同学感到方法灵活,对于问题给出的解法能看懂,但自己解决往往得不到正确的结果,并且不知道错在哪里,由此产生对排列组合应用题的畏惧心理。笔者在长期的教学实践中体会到,在高三复习课教学中,先把学生的想法充分地暴露出来,再引导学生从困惑中走出来,能有效提高学生解决排列组合应用题的能力。下面是一堂课的教学实录。[来源:Z§xx§k.Com][来源:学科网] 1 呈现问题,暴露错误 范例 8个人排成一队,三人互不相邻,两人也互不相邻的排法共有多少种? 教师:本题有两个限制条件:一是三人互不相邻;
澳客网彩票二是两人也互不相邻。如果暂时去掉一个限制条件,我们会做吗?(很多学生点头表示会做)请同学们认真思考后,谈出你的做法。

(留出一定时间让学生思考和互相交流,以分别形成明确的思路。) 生1:我的做法是这样的,把没有特殊要求的三人记为。分三步完成:第一步,将全排列,有种排法;
第二步,在站位的间隔和两端处插入三人,有种方法;
第三步,在,站位的间隔和两端处插入两人,有种方法。据分步计数原理,所求的排法种数为=6048。[来源:学科网ZXXK] 生2:我的做法与他(生1)的差不多,第一步完全一样,有种排法;
第二步,排,有种排法;
第三步,排,有种排法。据分步计数原理,所求的排法种数为=8640。我感到很困惑,结果怎么会与他(生1)不一样,难道我俩都错了? 2 发现错因 变误为正 教师:生2感到很困惑,大家是否也有同感(不少学生点头认可)。好,现在请同学们探讨一下生1的做法对不对? (约2分钟后,一学生发言了。) 生3:生1的做法是错的,错就错在第二步,他在第二步就把隔开(即两两不相邻)了,其实第二步排时可以恰有两个相邻,也可以三人连在一起,所以生1做出的结果比正确结果少了。

教师(生3的观点得到了全班同学的认同后):下面请同学们一起来修正生1的解法。

(此时有几个同学争着要发言) 生4:所有的排法可分为如下3类:第1类,在未排时互不相邻,有种排法;
第2类,在未排时中恰有两个相邻,有种排法;
澳客网彩票[来源:学|科|网] 第3类,在未排时三人连排在一起,有种排法。据分类计数原理,所求的排法种数为++=11520。

澳客网彩票 教师(面向生4):请你说说,第2类、第3类是如何分步的? 生4:(已表示在各个括号中,此处略去解释) 教师:很好!生4的做法完全正确。生4考虑问题既全面(合理分类)又细致(合理分步),值得大家学习。这里生1的错误得到了修正,下面请同学们修正生2 的错误。

(片刻后,不少学生举手了) 生5:所有的排法分为如下2类:第1类,在未排时互不相邻,有种排法;
澳客网彩票第2类,在未排时相邻,有种。据分类计数原理,所求的排法种数为+=11520。结果,与生4所得的一样了。

教师:现在我们比较一下这两种做法,哪一种较简便?由于的位置关系只有两种,故后一种较为简便。那么,还有没有其他方法呢? 3 继续探索 优化思维 生2:先放弃两人互不相邻这一限制条件,三人互不相邻的排法有种,去掉其中两人相邻的排法有种,故共有=11520种。

教师:想得非常好!看来用排除法比用直接法方便。因为排除法简便在反面情况的排法容易求出。

生6:我也用排除法,先放弃两个限制条件,所有的排法有种,去掉三人排 在一起或二人排在一起的排法,故共有=27360种,不是正确结果,我不知道错在哪里?[来源:学科网ZXXK] 教师:生6似乎很有道理,到底错在哪里呢?又这种方法是否可取? (终于,有学生又开腔了。教师悬着的心可落地了) 生2:生6的错误在于,三人互不相邻的反面不是三人全排在一起,三人全排在一起只是它的反面的一种情况;
还有一种情况是三人恰有两人相邻。放弃两个限制条件,导致很难求出不满足限制条件的排法种数,所以这种思路不可取! (在多数学生表示认同生2的说法后) 教师:排除法是解决有两个限制条件的排列问题的常用方法,通常的做法是先放弃一个限制条件,求出排法的种数;
再剔除不满足该限制条件的排法个数。至于放弃哪一个限制条件也是值得考虑的,如本题,若先放弃三人互不相邻这一限制条件,则较难剔除不满足该限制条件的排法个数。

4 因势利导 自编问题 教师:我们能不能在原问题的基础上编制一个问题,答案是,让生6的错误也有价值? 生7 8人排成一队,三人不全排在一起,二人也不排在一起的排法有多少种? 教师:这一次,三人不全排在一起,就是三人被隔开排列了;
澳客网彩票或是三人中恰有两人连排在一起,它的反面才是三人连排在一起。

小结:这节课,我们借助于一道有两个限制条件的排列问题,通过对两位同学的错误解法的分析,寻找其合理成分,得到了两种正确的方法(直接法),真可谓错误也是正确解法的先导!进一步探索,我们又得到了间接法,两个不同角度的排除却得到两种迥然不同的结果,虽然另一种排除法错了,却又是多么相似的问题的答案,这就告戒我们解决计数问题时要注意题目的细微区别! 作业:1.在本节课例题的基础上至少改编出两个问题,并给出解答. 2.从多个角度来探讨下列问题: 甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,到一方队员全部淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数是多少? 说明与反思 本节课以一个排列问题为载体,通过暴露学生的错误,剖析错因,寻求合理成分,从而实现从错误向正确的过渡;
通过不断探索,发现新方法,从而优化思维;
通过在原问题的基础上改造一个问题,使其答案为原题的错误答案,让做错题的学生找回了自信;
通过课外引申问题,培养发散性思维能力。

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